【三角函数的公式】三角函数是数学中非常重要的一部分，广泛应用于几何、物理、工程等领域。它主要研究角度与边长之间的关系，常见的三角函数包括正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan），以及它们的倒数函数：余切（cot）、正割（sec）、余割（sec）。以下是对常见三角函数公式的总结。
一、基本定义
设直角三角形中，角θ的对边为a，邻边为b，斜边为c，则有：
| 函数 | 定义式 |
| sinθ | a/c |
| cosθ | b/c |
| tanθ | a/b |
| cotθ | b/a |
| secθ | c/b |
| cscθ | c/a |
二、常用公式
1. 基本恒等式
| 公式 | 内容 |
| sin²θ + cos²θ = 1 | 基本恒等式 |
| 1 + tan²θ = sec²θ | 与正切和正割的关系 |
| 1 + cot²θ = csc²θ | 与余切和余割的关系 |
2. 诱导公式（角度变换）
| 角度变化 | 公式 |
| sin(π/2 - θ) = cosθ | 余角公式 |
| cos(π/2 - θ) = sinθ | 余角公式 |
| sin(π - θ) = sinθ | 补角公式 |
| cos(π - θ) = -cosθ | 补角公式 |
| sin(-θ) = -sinθ | 奇函数性质 |
| cos(-θ) = cosθ | 偶函数性质 |
3. 和差角公式
| 公式 | 内容 |
| sin(A ± B) = sinA cosB ± cosA sinB | 正弦和差公式 |
| cos(A ± B) = cosA cosB ∓ sinA sinB | 余弦和差公式 |
| tan(A ± B) = (tanA ± tanB)/(1 ∓ tanA tanB) | 正切和差公式 |
4. 倍角公式
| 公式 | 内容 |
| sin2θ = 2sinθ cosθ | 正弦倍角公式 |
| cos2θ = cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ | 余弦倍角公式 |
| tan2θ = 2tanθ/(1 - tan²θ) | 正切倍角公式 |
5. 半角公式
| 公式 | 内容 |
| sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/2] | 正弦半角公式 |
| cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ)/2] | 余弦半角公式 |
| tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/(1 + cosθ)] | 正切半角公式 |
三、特殊角的三角函数值
| 角度θ（弧度） | sinθ | cosθ | tanθ |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| π/6 | 1/2 | √3/2 | 1/√3 |
| π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 |
| π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 |
| π/2 | 1 | 0 | 无意义 |
四、应用提示
在实际应用中，三角函数常用于计算距离、高度、角度等问题。例如，在建筑、导航、信号处理等领域中，三角函数帮助我们建立模型并进行精确计算。掌握这些公式有助于提高解题效率，并理解其背后的几何意义。
通过以上总结，我们可以更清晰地了解三角函数的基本概念和常用公式，为后续学习和应用打下坚实的基础。