【商的求导公式】在微积分中，求导是研究函数变化率的重要工具。对于两个可导函数的商（即一个函数除以另一个函数），其导数的计算方法称为“商的求导公式”。该公式在数学分析、物理、工程等领域有广泛应用。
一、商的求导公式概述
若函数 $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $，其中 $ u(x) $ 和 $ v(x) $ 都是可导函数，且 $ v(x) \neq 0 $，则 $ f(x) $ 的导数为：
$$
f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
$$
这个公式也被称为商法则，它是乘积法则的扩展，用于处理分式形式的函数求导问题。
二、商的求导公式总结
| 项目 | 内容 |
| 公式 | $ f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} $ |
| 适用条件 | $ u(x) $ 和 $ v(x) $ 均可导，且 $ v(x) \neq 0 $ |
| 使用场景 | 分式函数的导数计算 |
| 注意事项 | 分母不能为零；需分别对分子和分母求导后再代入公式 |
三、实例解析
假设 $ f(x) = \frac{x^2}{x + 1} $，求 $ f'(x) $。
- $ u(x) = x^2 $，$ u'(x) = 2x $
- $ v(x) = x + 1 $，$ v'(x) = 1 $
根据商的求导公式：
$$
f'(x) = \frac{(2x)(x + 1) - (x^2)(1)}{(x + 1)^2} = \frac{2x^2 + 2x - x^2}{(x + 1)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(x + 1)^2}
$$
四、常见错误与注意事项
1. 符号错误：在分子部分，注意减号的位置，即 $ u'v - uv' $。
2. 分母平方：必须将整个分母 $ v(x) $ 平方，而不是仅对 $ v'(x) $ 平方。
3. 忽略定义域限制：在应用商法则时，必须确保 $ v(x) \neq 0 $，否则公式不成立。
五、小结
商的求导公式是微积分中的基础内容之一，掌握它有助于更高效地处理分式函数的导数问题。通过合理使用该公式，并结合实际例子进行练习，可以有效提升求导能力，为后续学习积分、微分方程等内容打下坚实基础。