问2012年全国统一高考数学试卷

【2012年全国统一高考数学试卷】2012年全国统一高考数学试卷作为当年高考的重要组成部分，全面考查了考生在代数、几何、函数、概率与统计等基础知识和综合应用能力方面的掌握情况。该试卷整体难度适中，题型分布合理，注重对基本概念的理解与灵活运用，同时兼顾区分度，为高校选拔人才提供了有效依据。

以下是对2012年全国统一高考数学试卷的总结分析，包括题型分布、知识点覆盖及部分典型题目的解析。

一、试卷结构概述

二、知识点分布分析

三、典型题目解析

1. 选择题（第1题）

题目：

设复数 $ z = \frac{1 + i}{1 - i} $，则 $ z $ 的模为（ ）

A. 1

B. $ \sqrt{2} $

C. 2

D. $ \frac{\sqrt{2}}{2} $

解析：

先化简复数：

$$

z = \frac{1 + i}{1 - i} \cdot \frac{1 + i}{1 + i} = \frac{(1+i)^2}{1^2 - i^2} = \frac{1 + 2i + i^2}{1 + 1} = \frac{1 + 2i -1}{2} = \frac{2i}{2} = i

$$

因此，$ z = i = 1 $，答案为 A。

2. 填空题（第13题）

题目：

从1,2,3,4,5中任取两个不同的数，这两个数之和为偶数的概率是______。

解析：

总共有 $ C_5^2 = 10 $ 种取法。

两数之和为偶数的情况：

- 两个奇数：$ C_3^2 = 3 $

- 两个偶数：$ C_2^2 = 1 $

共 $ 3 + 1 = 4 $ 种

概率为 $ \frac{4}{10} = \frac{2}{5} $

3. 解答题（第19题）

题目：

已知函数 $ f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c $ 在 $ x = 1 $ 处取得极小值 $ -2 $，且 $ f(0) = 1 $。求 $ a, b, c $ 的值。

解析：

由 $ f(0) = 1 $ 得：

$$

f(0) = c = 1

$$

又因 $ f'(x) = 3x^2 + 2ax + b $，在 $ x = 1 $ 处有极值，故：

$$

f'(1) = 3(1)^2 + 2a(1) + b = 3 + 2a + b = 0 \quad \text{（1）}

$$

且 $ f(1) = 1 + a + b + c = -2 $，代入 $ c = 1 $：

$$

1 + a + b + 1 = -2 \Rightarrow a + b = -4 \quad \text{（2）}

$$

联立（1）和（2）得：

$$

\begin{cases}

3 + 2a + b = 0 \\

a + b = -4

\end{cases}

\Rightarrow

\begin{cases}

b = -4 - a \\

3 + 2a -4 - a = 0 \Rightarrow a -1 = 0 \Rightarrow a = 1

\end{cases}

$$

代入得 $ b = -5 $，最终 $ a = 1, b = -5, c = 1 $

四、总结

2012年全国统一高考数学试卷整体难度适中，注重基础知识的掌握与实际应用能力的结合。通过合理的题型设置和知识点分布，既保证了基础题的覆盖面，也设置了适量的难题以区分考生水平。对于考生而言，扎实的基础知识和良好的逻辑思维能力是取得高分的关键。

如需进一步了解具体题目的详细解答或历年真题对比分析，可参考相关教材或官方考试资料。