【高数常见函数求导公式】在高等数学中，导数是研究函数变化率的重要工具。掌握常见的函数求导公式对于学习微积分、解决实际问题具有重要意义。以下是对一些常用函数的求导公式的总结，并以表格形式进行展示，便于查阅和记忆。
一、基本初等函数的导数
| 函数名称 | 函数表达式 | 导数公式 |
| 常数函数 | $ y = C $（C为常数） | $ y' = 0 $ |
| 幂函数 | $ y = x^n $（n为实数） | $ y' = nx^{n-1} $ |
| 指数函数 | $ y = a^x $（a > 0, a ≠ 1） | $ y' = a^x \ln a $ |
| 自然指数函数 | $ y = e^x $ | $ y' = e^x $ |
| 对数函数 | $ y = \log_a x $（a > 0, a ≠ 1） | $ y' = \frac{1}{x \ln a} $ |
| 自然对数函数 | $ y = \ln x $ | $ y' = \frac{1}{x} $ |
| 正弦函数 | $ y = \sin x $ | $ y' = \cos x $ |
| 余弦函数 | $ y = \cos x $ | $ y' = -\sin x $ |
| 正切函数 | $ y = \tan x $ | $ y' = \sec^2 x $ |
| 余切函数 | $ y = \cot x $ | $ y' = -\csc^2 x $ |
| 正割函数 | $ y = \sec x $ | $ y' = \sec x \tan x $ |
| 余割函数 | $ y = \csc x $ | $ y' = -\csc x \cot x $ |
二、复合函数与反函数的导数
对于复合函数，通常使用链式法则进行求导。例如：
- 若 $ y = f(u) $，且 $ u = g(x) $，则：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$
反函数的导数公式如下：
- 若 $ y = f(x) $ 的反函数为 $ x = f^{-1}(y) $，则：
$$
\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}} \quad ( \text{当 } \frac{dy}{dx} \neq 0 )
$$
三、三角函数的导数
| 函数名称 | 导数公式 |
| $ y = \sin x $ | $ y' = \cos x $ |
| $ y = \cos x $ | $ y' = -\sin x $ |
| $ y = \tan x $ | $ y' = \sec^2 x $ |
| $ y = \cot x $ | $ y' = -\csc^2 x $ |
| $ y = \sec x $ | $ y' = \sec x \tan x $ |
| $ y = \csc x $ | $ y' = -\csc x \cot x $ |
四、反三角函数的导数
| 函数名称 | 导数公式 | ||
| $ y = \arcsin x $ | $ y' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ | ||
| $ y = \arccos x $ | $ y' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ | ||
| $ y = \arctan x $ | $ y' = \frac{1}{1 + x^2} $ | ||
| $ y = \text{arccot } x $ | $ y' = -\frac{1}{1 + x^2} $ | ||
| $ y = \text{arcsec } x $ | $ y' = \frac{1}{ | x | \sqrt{x^2 - 1}} $ |
| $ y = \text{arccsc } x $ | $ y' = -\frac{1}{ | x | \sqrt{x^2 - 1}} $ |
五、双曲函数的导数
| 函数名称 | 导数公式 |
| $ y = \sinh x $ | $ y' = \cosh x $ |
| $ y = \cosh x $ | $ y' = \sinh x $ |
| $ y = \tanh x $ | $ y' = \text{sech}^2 x $ |
| $ y = \coth x $ | $ y' = -\text{csch}^2 x $ |
| $ y = \text{sech } x $ | $ y' = -\text{sech } x \tanh x $ |
| $ y = \text{csch } x $ | $ y' = -\text{csch } x \coth x $ |
总结
以上内容涵盖了高等数学中常见的函数及其求导公式，包括基本初等函数、复合函数、反函数、三角函数、反三角函数以及双曲函数的导数。这些公式是微积分学习的基础，掌握它们有助于提高解题效率和理解数学规律。建议在学习过程中结合练习题反复巩固，加深对导数概念和应用的理解。